Riemannsche Geometrie

Riemannsche Geometrie bezeichnet einen Zweig der Mathematik, der sich mit gekrümmten Räumen beliebiger Dimension befasst und das unverzichtbare mathematische Fundament der Allgemeinen Relativitätstheorie bildet.

Bernhard Riemann entwickelte diese Geometrie in seiner Habilitationsschrift von 1854 als Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie. Während in der euklidischen Geometrie (für flache, ungebogene Räume) die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks stets exakt 180 Grad beträgt, kann diese Summe in der Riemannschen Geometrie größer oder kleiner sein - je nachdem, ob der Raum positiv oder negativ gekrümmt ist. Auf einer Kugeloberfläche etwa beträgt die Winkelsumme stets mehr als 180 Grad.

Das zentrale Werkzeug der Riemannschen Geometrie ist der metrische Tensor, der angibt, wie Abstände und Winkel in einem Punkt des Raumes gemessen werden. Dieser Tensor ist der Ort, an dem die Massenverteilung des Universums in Einsteins Feldgleichungen die Geometrie der Raumzeit beeinflusst.

Praktisch bedeutsam wird das für Schwarze Löcher und Neutronensterne, wo die Krümmung extrem stark ist, sowie für die großräumige Struktur des Universums. Die Frage, ob das Universum als Ganzes positiv, negativ oder flach gekrümmt ist, wird durch kosmologische Beobachtungen untersucht. Aktuelle Messungen der kosmischen Hintergrundstrahlung deuten auf eine sehr nahe an null liegende Gesamtkrümmung hin.